你在这里

关于美国基础数学教育的问答

下面的一段问答,是我跟山东的一位数学老师-张学礼老师,以及河南的“红河谷”教研员在网上交流关于美国基础数学教育方面的问答。我自己的答复有不准确的地方,这次做了一些修改。

张老师:有几个疑问:第一,关于分层与分班,我曾看到美国八年级以上都是按层分班的,高中甚至分四种班,这与方老师说的不尽相同,是不是各州不同?第二,关于数学课本,方老师自己说的前后矛盾,有说螺旋式上升的,也有说按数学分支分的,到底是怎样的呢?第三,我们能不能说,美国数学教育是失败的呢?

方老师:美国的初中以下的数学课,就叫“数学”,没有分科。

初中以上的数学课,不叫“数学”,而是分科的,因为这是大学的要求。所以,美国的高中数学课,正常来说,一般有下面的科目:

《代数1》:通常是高中一年级的学生读,涵盖从代数式到二次函数,双曲线函数以前的代数知识;

《代数2》:通常是高中二年级或者是高中三年级的学生读。假如学生在初中已经学过代数1,高中一年级的学生也可以读。涵盖高等代数的知识;

《几何》:包括平面几何和立体几何;高中任何一个年级的学生都可以修读;

《前微积分》:在学微积分之前必须懂的内容,包括三角函数,解析几何,数列,极限等内容;读完了代数2和几何才能选修;

《数学统计》:统计学的内容,学完了代数2和几何才能选修;

《大学数学统计》:大学一年级的数学统计内容;

《大学微积分》:大学一年级和二年级的微积分内容。

美国高中的数学课本因为要严格按照大学的入学要求来教数学的内容,基本没有搞“螺旋式上升”。某些州某些校区曾经在高中一年级的数学课本搞过所谓的CPM数学,就是把代数和几何的内容揉合在一起螺旋式上升,结果导致学生的数学程度加剧恶化,大学出手干预,结果现在基本取消这种课本了。

螺旋式上升的是初中的数学课本和小学的数学课本。从前,小学基本就没有课本,有一本叫“螺旋式上升数学探究活动”的教师指南而已。教师看得懂就多教点,看不懂就少教点。绝大部份学生到了六年级或者七年级(初中阶段)才知道什么叫乘法表。现在这种情形在改善中。

美国的私立学校受干扰比较少,基本还是按照传统来教数学。

另外,到现在仍然有不少人认为美国的数学教育并没有失败。原因是:

第一:“传统”要学的很多数学内容,绝大部份的人一生都不会用到。假如学生学不到,并不会对他一生造成毁灭性的影响。

第二:需要掌握“传统”的数学内容,将来能进入数理科系深造,成为工程师,数学家,物理学家之类的人,占学生人口极低的百分比。全美国有三万五千多所公立和私立的高中,假如平均每所高中有1000个学生,每年毕业的高中生就有八百七十五万人。这些人,平均有百分之八十能进入各种大学就读,也就是说有大概七百万人升读大学。但是,每年美国只培养八万个工程师毕业出来。只有百分之一点一的学生需要掌握“传统”的,要求基础扎实的数学内容。没有必要让另外那百分之九十多的学生跟着他们受苦。

第三:在人群中,数学天才的概率大概也就是百分之一左右。这群人,即使不教他们,不严格要求他们,他们的数学也一样会很好。而且,美国不乏大量课后提高学生数学能力的途径,比如“数学联盟”,奥数俱乐部等,都可以让这些学有余力的学生根据自己的爱好进修数学,没有必要一定要让全体学生学那么深的数学内容。

第四:美国教育并不需要通过极难的数学考试题来筛选过多的大学申请人。世界著名的常春藤盟校有八所;加州大学有十所分校;全球排名最前的100所大学,绝大部份在美国,不会出现大量学生集中申请两所大学的情形。因此,没有必要要求学生都掌握“传统”的数学。

(2013年注:目前美国已经有全国统一的中小学数学课程标准,难度有所下降,不再要求初中学生一定要学完代数。这个做法其实是明智的,因为美国初中的数学老师很多人都不懂代数。美国的小学因为是没有分科目的,一个老师教所有科目的课,能把小学生的数学基础打得很严实的教师非常少。在美国,数学很好的人绝大部分根本就不会去当老师,即使当,也不会去当小学老师。)

张老师:感谢方老师的回复,我确实看了不少书,但是具体的介绍基本是没有的,反而是您所写的《我在美国教中学》对美国课堂有较多的描述。如果您有比较好的资料,可以推荐给我,英文的也可以。但是,有一点,就是第一条您还是没有说的。我是在山东省教育厅副厅长张志勇的一篇序言中了解到的,也就是美国的高中教育分层——实质是分班,感觉和您所说的还有差异,不知道是不是各州所有说不通。其实我和您的观点一样,没有分班的分层没有任何价值可言。现在中国大陆的班级两极分化是非常严重,但是学校摄于家长的压力,根本不敢分班,其实我有一个非常理想的想法,就是高中低三个档次的班,低档次的班额可以小一些,高档次的也可以小一些,中档次的班额可以大一些,当然,这是在中国目前国情的条件下不得已的事情,要是都能班额小最好了。这样的话符合正态分布,感觉不错。当然,这只是我的一厢情愿,不过我想和您交流一下,听听您的意见。盼望从您那里得到更多关于美国教学的事情,谢谢您的工作!

方老师:第一条:张厅长看到的,跟我说的,完全是一回事。

美国的中学(初中或者高中)绝大部分是走班选课学分制的,没有“班”的概念。一个年级的学生,某些人可能一起上英语课,但是下一节上数学课可能不在一起了,到下一节上科学课可能又是另外一批人,就跟中国的大学的选课上课方式差不多。因此所谓“分层”,张厅长看到的,就是在初中,比如:学生上数学课的时候,虽然都是上七年级数学,可是因为七年级数学可能有四个老师教,分成AB两层了,A层的是给普通学生上的,由甲乙两个老师上。B层的,通常叫“荣誉课”(honors),两个班给尖子精英上的,由丙丁两个老师担任。这两个层次用的课本可能一样,也可能不一样。

至于在高中,因为学生的程度更加参差不齐,数学分层更复杂。比如,大学是不承认高中教的不属于高中程度的数学课的学分的(比如教四则运算),但是,事实上,确实有学生是不懂四则运算的,必须单独给他们开一个班,怎么办呢?于是,我们就可能在一个高中里面发现同一个数学科目,分三层:一个叫“代数初步”,教那些小学算术没学会的学生;一个叫“代数”,给普通学代数的学生;一个叫“代数荣誉班”,给代数学得很好的精英学生,提高用的。至于所谓的“第四层”,统称AP课,就是大学的数学课,跟高中数学课没关系。因为学生学了以后,要参加全国AP统考(相当于中国的高考),及格了以后才有学分的。于是,前三层,可能用不同课本,最后一层,因为是大学数学课,课本当然也是不同的。

比如我现在教的中国语文荣誉班,学生的中文程度跟中国的高中同一个年级的学生是完全一样的。但是,我们学校也有普通中文班,学生的中文程度大概只有中国的幼儿园小班的水平(外国人刚开始学汉语嘛)。这也是一种分层。

我在国内读初中的时候,初中有八个班,就分了八个档次。到了高中,四个班,三个理科班,一个文科班;三个理科班是分了高中低三个档次的。大家都学得很开心,很用功。到高考的时候,三个档次都有考上名校的。一点问题都没有。反而现在不可以这样做了,令人莫名其妙。

红河谷:大体是否可以看出,美国中小学基础教育放松过度,需要引进我们的应试统考紧起来;我们的中小学应试教育紧张过火,需要引进美国的多元智能激发兴趣,放松一下发展能力。总之,美国有美国的国情和问题,中国有中国的国情和问题,学别人之长,补自己不足吧。

方老师:不全是这样。美国的小学数学教育必须通过专职数学老师进行。这样,即使没有应试统考,起码能把正确的数学思维教给学生。

中国的应试唯一教育的问题是教材教得面不够广,但考试偏偏往“深”钻(其实所谓的“深”,很多时候根本不是深,假如掌握了高级一点的数学手段,可以轻易解决,没有必要用低级的手段花百倍的气力去弄。但是,因为大方向错了,以为在广度有限的情形下选拔学生,只好靠偏题怪题来进行,结果导致不但没有达到培养人的目的,还直接导致了全民族钻空子,耍小聪明的坏习惯)。其实,要解决这个问题很简单:多教一点内容。学有余力的学生(包括智力其实不行,但坚信自己一定能进入北大清华的学生),给他们开大学的数学专业课。高考的时候,既考高中的数学,又考大学的数学,程度不必很深,广度可以很广。这样,既能拉开距离,培养优秀人才,也能杜绝应试的偏题怪题的出现。

张老师:我觉得方老师不是很了解内地的考试,其实好多题目并非用高级知识可以解决的,而完全只能由出题人才能解决,或者靠着解题者的某一贴近出题人的灵感才能解决。其实,我们在学习和复习的过程中,有一个非常重要的目的,就是尽量接近出题人的思维,而不是接近科学。

对于《数学课应该怎么教?——对于当前数学教学的反思》一文的讨论

方老师:关于美国数学教学的部份,我不知道你是看哪些书的,但得到的结论(或者书中告诉你的结论)是不正确的。

美国数学教育的真相,并不是以“建构为主”,更不是学生“可以学好,也可以不学好”。

什么叫“分层”?“美国高年级的数学教学是分层的”什么意思?

分班就分班,“分层”不分班,那是自欺欺人。

美国大部分的学校的数学教学,是分班进行的。因为进入高中以后,一些学生只会数数;另外一些学生只会十以内加减法……也有些学生学过代数,还有些学生代数掌握得很好……于是,这些学生按照不同的数学程度,分到不同的班里面去。那些班的数学课的名称就叫《数数》、《基础算术初步》、《初等代数》、《平面几何》、《高等代数》等等。

美国一直在流行一个非常错误的教学方法,到现在仍然死不改悔,就是所谓的“differentiatedinstruction”(分层教学)。这种教学方法声称在一个班里面,假如学生的年龄一样的话,即使有人只懂小学一年级算术,有些人只懂小学三年级算术,有些人只懂小学四年级算术,有些人学过代数,有些人学过点几何,有些人学过三角函数……就能给这帮学生上一门数学课,叫“偏微分方程”。

张老师:此外,中美的班级构成也不一样。在张厅长的这篇文章用就引用了这么一段:

老师们考察的学校是分层设置课程的,具体情况是:

五年级的课程是统一的,六七年级分AB两层,八年级ABC三个层次。

尽管学生的学习内容是统一的,但教科书的难度是不同的。一般A层是一本教科书,B、C层是一本教科书。

高中一般分以下四个层次:

第一个层次:基础课,供学习成绩比较差的学生来选。

第二个层次:正常的学生。

第三个层次:比较优秀学生。

第四个层次:AP课,即在高中阶段提前选修大学课程。

请就这一段指教一下

方老师:那个不叫“分层”,而叫“分班”。水平类似的(有时候并不是靠考试成绩决定的)学生分到同一个班,因材施教。老师也根据其特长,教不同的班,不一定好老师就教最好的班,而是最合适的老师教合适的班。学习的内容不一定一样。大致的范围可能一样,但是具体的深度和广度都差很远。比如,同样是教一元二次方程,低层次的班只教代入公式。高层次的班,除了教公式以外,还会教因式分解法,配方法和十字相乘法来解一元二次方程。

这种分班的办法,在美国曾经(现在很多地方仍然如此)是最受批判的做法,叫做tracking。因为这样一分,层次最低的班就基本百分之九十几是黑人和拉丁裔学生了,于是他们就大叫“种族歧视!!”“种族隔离!”“打倒白人至上!”于是谁也不敢搞分班。

但是,美国各地还是有不少公立学校堂而皇之搞重点学校。理由就是:既然有的学校可以不管学生的成绩,用电脑抽签来录取;那么,为了公平起见,也应该允许有的学校完全不用电脑抽签,光凭学生成绩来录取(反其道而行之)。这些学校就成了重点学校,每年的大学升学率基本是百分之百,进入名校的升学率超过百分之八十。而非重点的高中,平均升学率只有百分之七十到八十,名校升学率不到百分之十。

光凭学生成绩录取的学校,亚裔的比例一般都超过百分之七十。黑人的比例少于百分之零点一。

旧金山最好的,凭学生成绩录取的高中,华裔的比例是百分之七十五,其中女生占百分之九十,这所学校几乎成了华裔女校。

华裔只占美国总人口的百分之一点二。

“分班”这个词在中国也成了“政治不正确”的词,一般人都不敢提“按程度分班”,更加不敢提“重点班”,“重点校”,只能偷偷摸摸地说:“我们不是分班,而是分层。”

 

栏目: 

Theme by Danetsoft and Danang Probo Sayekti inspired by Maksimer